ভূমির উপর লম্ব খাড়াভাবে দন্ডায়মান একটি খুঁটির সাথে 40m দীর্ঘ একটি শক্ত দড়ির একপ্রান্ত বাঁধা আছে এবং অপর প্রান্তে একটি লোক নির্দিষ্ট বল প্রয়োগে টানছে। খুঁটিটির কত উচ্চতায় দড়ি বাঁধলে লোকটির পক্ষে তা উল্টিয়ে ফেলা সহজ হবে?

ধরা যাক,

    
• দড়ির দৈর্ঘ্য \(L = 40 \text{ m}\)
    
• খুঁটির যে উচ্চতায় দড়ি বাঁধা আছে তা \(h\)
    
• খুঁটির গোড়া থেকে ভূমিতে লোকটির টানার বিন্দুর দূরত্ব \(x\)

খুঁটি, ভূমি এবং দড়ি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। এই ত্রিভুজের অতিভুজ হলো দড়ির দৈর্ঘ্য \(L\), লম্ব হলো \(h\) এবং ভূমি হলো \(x\)।

সুতরাং, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:

\(h^2 + x^2 = L^2\)

যদি লোকটি \(F\) বল প্রয়োগ করে দড়ি টানে, তবে এই বল দড়ির দিক বরাবর কাজ করবে। খুঁটিকে উল্টানোর জন্য খুঁটির গোড়ার সাপেক্ষে টর্ক তৈরি হবে। টর্ক সর্বোচ্চ হয় যখন বলের উল্লম্ব উপাংশ সর্বোচ্চ হয় এবং এটি খুঁটির সর্বোচ্চ উচ্চতায় প্রয়োগ করা হয় অথবা বলের একটি নির্দিষ্ট উপাংশ (যেমন, অনুভূমিক) এবং তার লম্ব দূরত্বের গুণফল সর্বোচ্চ হয়।

সহজভাবে, খুঁটিকে উল্টানোর জন্য প্রযুক্ত বলের কারণে উৎপন্ন ঘূর্ণন বল (টর্ক) সর্বোচ্চ হতে হবে। যদি দড়িটি ভূমির সাথে \(\theta\) কোণ তৈরি করে, তবে বলের অনুভূমিক উপাংশ হবে \(F\cos\theta\) এবং উল্লম্ব উপাংশ হবে \(F\sin\theta\)।

খুঁটির গোড়ার সাপেক্ষে ঘূর্ণন বল (টর্ক) \(\tau\) হবে অনুভূমিক বলের উপাংশ এবং খুঁটিতে দড়ি বাঁধার উচ্চতার গুণফল:

\(\tau = (F\cos\theta) \times h\)

কিন্তু, ত্রিভুজ থেকে আমরা জানি:

    
• \(h = L\sin\theta\)
    
• \(x = L\cos\theta\)

এখানে, দড়ির টানার বল \(F\) দড়ির দিক বরাবর কাজ করে। খুঁটির গোড়ার সাপেক্ষে এই বলের টর্ক হবে, খুঁটির গোড়া থেকে দড়ির কার্যরেখার লম্ব দূরত্ব এবং বলের গুণফল। দড়ির কার্যরেখার লম্ব দূরত্ব এখানে \(h\) এর সাথে সম্পর্কিত।

অন্যভাবে, খুঁটিকে উল্টানোর জন্য কার্যকর টর্ক হলো:

\(\tau = F \times (\text{খুঁটির গোড়া থেকে বলের কার্যরেখার লম্ব দূরত্ব})\)

এখানে, বলের কার্যরেখার লম্ব দূরত্ব হলো \(h\cos\theta\) (যদি বলটি খুঁটির উপর কাজ করে) অথবা \(x\sin\theta\)। কিন্তু এই ক্ষেত্রে সহজ উপায় হলো বলের একটি উপাংশ (যেটি খুঁটিকে ঘোরানোর জন্য দায়ী) এবং তার লম্ব দূরত্ব ব্যবহার করা।

যদি আমরা খুঁটির গোড়াকে ঘূর্ণন অক্ষ ধরি, তাহলে টর্ক হবে খুঁটির গোড়া থেকে দড়ি বাঁধার উচ্চতা (\(h\)) এবং দড়ির টানের অনুভূমিক উপাংশ (\(F\cos\theta\)) এর গুণফল।

সুতরাং, \(\tau = F\cos\theta \times h\)

যেহেতু \(h = L\sin\theta\), আমরা লিখতে পারি:

\(\tau = F\cos\theta \times (L\sin\theta)\)

\(\tau = FL\sin\theta\cos\theta\)

আমরা জানি, \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta\)।

তাহলে, \(\tau = \frac{FL}{2}(2\sin\theta\cos\theta)\)

\(\tau = \frac{FL}{2}\sin(2\theta)\)

টর্ক \(\tau\) সর্বোচ্চ হবে যখন \(\sin(2\theta)\) এর মান সর্বোচ্চ হবে। \(\sin\) ফাংশনের সর্বোচ্চ মান হলো 1, যা \(2\theta = 90^\circ\) হলে পাওয়া যায়।

সুতরাং,

\(2\theta = 90^\circ\)

\(\theta = 45^\circ\)

অর্থাৎ, দড়িটি ভূমির সাথে 45 ডিগ্রি কোণ করে থাকলে খুঁটিটিকে উল্টিয়ে ফেলা সবচেয়ে সহজ হবে।

এখন, খুঁটির উচ্চতা \(h\) নির্ণয় করতে হবে যখন \(\theta = 45^\circ\):

\(h = L\sin\theta\)

\(h = 40\sin(45^\circ)\)

\(h = 40 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(h = \frac{40}{\sqrt{2}}\)

\(h = \frac{40\sqrt{2}}{2}\)

\(h = 20\sqrt{2} \text{ m}\)

অতএব, খুঁটিটির \(20\sqrt{2} \text{ m}\) উচ্চতায় দড়ি বাঁধলে লোকটির পক্ষে তা উল্টিয়ে ফেলা সবচেয়ে সহজ হবে।